फलन $\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ का समाकलन ज्ञात कीजिए।

हमें समाकलन $I = \int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1-\cos x}{1+\cos x} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \tan^2 \frac{x}{2}$.
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \frac{x}{2} = \sec^2 \frac{x}{2} - 1$.
अब,इस व्यंजक का समाकलन करने पर:
$I = \int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) dx = \int \sec^2 \frac{x}{2} dx - \int 1 dx$.
$\sec^2(ax)$ का समाकलन $\frac{1}{a} \tan(ax) + C$ होता है।
अतः,$I = \frac{\tan(x/2)}{1/2} - x + C = 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।